РІВНЯННЯ З ПАРАМЕТРАМИ

Розв'язування вправ із параметрами полягає у побу­дові алгоритму, що дозволяє для будь-якого значен­ня параметра знаходити відповідну множину ко­ренів. Важливим способом розв'язання задач із па­раметрами є запис відповіді. Записуючи відповідь обов'язково потрібно впевнитися, що всі можливі значення параметра враховано.

Лінійні рівняння з параметрами

1.   При яких натуральних значеннях а корінь рів­няння (а+2)х = 5 є натуральним числом?

Розв'язання

Лінійне рівняння (а+2)х=5 має корінь за умови а+2 0, тоді х = . Корінь рівняння є натуральним числом, якщо а+2 — дільник числа 5, тобто при а = 3.

Відповідь. 3.

2.   При яких цілих значеннях а коренем рівняння (а+1)х = 7 є ціле число?

Розв'язання

При а+1 0 рівняння (а+1)х =0 має корінь . Вираз  набуватиме цілих значень за умови, що (а+1) є цілим дільником числа 7. Оскільки число 7 є простим числом, то його цілими дільниками є числа: 1; 7; -1; -7. Отже, значення параметра знайдемо з таких умов: а+1 =1, а+1 = 7, а+1 = -1, а+1 = -7. Розв'язавши ці рівняння, маємо: а = 0, а = -2, а = -8, а = 6.

Відповідь. -8; -2; 0; 6.

Ірраціональні рівняння з параметрами

1.  При яких значеннях параметра а не має коренів рівняння:

а) (х-а)( +1)=0;  б)  = 0?

Розв'язання

а) 3 урахуванням ОДЗ маємо, що корінь рівняння — недодатне число. Рівняння (х –а )( +1)=0 рівносильне системі

Отже, при будь-якому а ≤ 0 вихідне рівняння має корінь х = а.

Для того щоб рівняння коренів не мало, потрібно, щоб виконувалась умова а> 0.

Відповідь. а>0.

6) = 0.

Розв'язання

Із рівняння   = 0 маємо систему:

При а>1 дане рівняння має корінь х = а. Отже, ко­ренів рівняння не має, якщо а ≤ 1.

Відповідь. а ≤ 1.

2.   При яких значеннях параметра а рівняння  має два різні корені?

Розв'язання

Рівняння   рівносильне системі

При а = 4 рівняння має два рівні корені, а при 0 ≤ а < 4 або      а > 4 рівняння має два різні корені.

Відповідь. 0 ≤ а < 4, а > 4.